[SS] Differential Equation : RC System

다음의 RC회로를 미분방정식으로 풀기.

$t=0$에서 스위치가 닫힘.

위의 회로에서 입출력 및 초기조건은 다음과 같음.

• input : $E$ (voltage)
• output : $i(t)$ (current)
• initial condition : $q_c(0)=0$ (capacitor C의 $t=0$에서의 전하량.)

 

1. Differential Equation 구하기

KVL에 의해 다음이 성립.

$$\begin{aligned} Ri(t) + \frac{1}{C}\int_0^{t}i(\tau)d\tau &= E \end{aligned}$$

$i(t)=\frac{d q(t)}{dt}$ 를 이용하여 위의 식을 $q(t)$로 다시 쓰면 다음과 같은 differential equation이 됨.

$$\begin{aligned} R\frac{dq(t)}{dt} + \frac{1}{C}q(t) &= E \\ \frac{dq(t)}{dt} + \frac{1}{RC}q(t) &= \frac{E}{R} \end{aligned}$$

 

2. Homogeneous solution 구하기.

$q(t)$의 homogeneous solution을 $q_h(t)$라 하면 다음이 성립. $$\begin{aligned} \frac{dq_h(t)}{dt} + \frac{1}{RC}q_h(t) &= 0 \\ \frac{dq_h(t)}{dt} &= -\frac{1}{RC}q_h(t) \\ \frac{1}{q_h(t)}dq_h(t) &= -\frac{1}{RC}dt \\ \displaystyle{\int_{A}^{q_h(t)} \frac{1}{q_h(\tau)}dq_h(\tau)} &= \displaystyle{-\frac{1}{RC} \int_0^{t} d\tau} \\ \left[ \ln q_h(\tau) \right] _{Q}^{q_h(t)} &= \left[ -\frac{1}{RC} \tau \right]_0^t \\ \ln q_h(t) - \ln A &= -\frac{1}{RC} t \\ \ln \frac{q_h(t)}{A} &= -\frac{1}{RC} t \\ \frac{q_h(t)}{A} &= e^{-\frac{1}{RC} t} \\ q_h(t) &= Ae^{-\frac{1}{RC} t} \\ \end{aligned}$$ 원래 입력이 $i(t)$이므로 $i(t)=\frac{dq(t)}{dt}$를 이용하여, $i(t)$로 바꾸어 표기해야하나 complete solution에서 한번에 처리하는 게 이 문제에선 편하므로 이대로 진행함.

 

특성방정식으로 풀면 다음과 같음.
$$\begin{aligned} \frac{dq_h(t)}{dt}+\frac{1}{RC}q_h(t) &= 0 \\ Dq_h(t)+\frac{1}{RC}q_h(t) &= 0 \\ (D+\frac{1}{RC})q_h(t) &= 0 \\ (\lambda+\frac{1}{RC})q_h(t) &= 0 \quad, \text{특성방정식의 해를 }\lambda\text{로 표기}\\ \lambda &= -\frac{1}{RC} \quad , q_h(t)=0\text{인 trivial solution 제외할 경우의 해} \\ q_h(t) &= A e^{-\frac{1}{RC} t} \\ \end{aligned}$$

 

3. Particular solution

$q(t)$의 Particular solution을 $q_p(t)$라 하면 다음이 성립.

$$\frac{dq_p(t)}{dt}+\frac{1}{RC}q_p(t) = \frac{E}{R}$$

$\frac{E}{R}$은 상수이므로, particular solution $q_p(t)$도 상수의 형태를 가짐 (particular solution은 입력함수에 의해 그 형태가 결정됨을 기억할 것). 즉, 다음과 같은 식으로 표현 가능.

$$q_p(t)=n \quad , n \text{은 상수}$$

이를 미분방정식에 대입하여 풀면 다음과 같음.

$$\begin{aligned} \frac{dq_p(t)}{dt}+\frac{1}{RC}q_p(t) &= \frac{E}{R} \\ \frac{dn}{dt}+\frac{1}{RC}n &= \frac{E}{R} \\ 0+\frac{1}{RC}n &= \frac{E}{R} \\ n &= CE \\ \therefore q_p(t) &= CE \end{aligned}$$

 

4. Complete solution

complete soluton $q(t)$는 다음과 같이 homogeneous solution과 particular solution의 합임.

$$\begin{aligned} q(t) &= q_h(t) + q_p(t) \\ &=A e^{-\frac{1}{RC} t} +  CE \end{aligned}$$

위의 solution의 식에서 우리가 모르는 상수는 $A$임. ($R$,$C$,$E$는 회로에서 주어진 상수)

 

$A$를 구하기 위해, 초기조건을 이용한다.

$$\begin{aligned} q_c(0)=0&=A e^{-\frac{1}{RC} 0} +  CE \\ &=A+CE\\ \\ \therefore A&=-CE \end{aligned}$$

 

즉, $q(t)$는 다음과 같음.

$$\begin{aligned} q(t) &=-CE e^{-\frac{1}{RC} t} +  CE \\ &=CE (1-e^{-\frac{1}{RC} t}) \end{aligned}$$

 

출력이 $i(t)$이므로, 위의 $q(t)$로부터 $i(t)$를 구하면 다음과 같음.

$$\begin{aligned} i(t) &=\frac{dq(t)}{dt}\\ &= -CE\left(-\frac{1}{RC}\right) e^{-\frac{1}{RC} t} \\ &=\frac{E}{R}e^{-\frac{1}{RC} t} \end{aligned}$$