[SS] Differential Equation : RC System

다음의 RC회로를 미분방정식으로 풀기.

$t=0$에서 스위치가 닫힘.

위의 회로에서 입출력 및 초기조건은 다음과 같음.

• input : $E$ (voltage)
• output : $i(t)$ (current)
• initial condition : $q_c(0)=0$ (capacitor C의 $t=0$에서의 전하량.)

 

1. Differential Equation 구하기

KVL에 의해 다음이 성립.

$$\begin{aligned}
Ri(t) + \frac{1}{C}\int_0^{t}i(\tau)d\tau &= E
\end{aligned}$$

$i(t)=\frac{d q(t)}{dt}$ 를 이용하여 위의 식을 $q(t)$로 다시 쓰면 다음과 같은 differential equation이 됨.

$$\begin{aligned}
R\frac{dq(t)}{dt} + \frac{1}{C}q(t) &= E \\
\frac{dq(t)}{dt} + \frac{1}{RC}q(t) &= \frac{E}{R}
\end{aligned}$$

 

2. Homogeneous solution 구하기.

$q(t)$의 homogeneous solution을 $q_h(t)$라 하면 다음이 성립.$$\begin{aligned}
\frac{dq_h(t)}{dt} + \frac{1}{RC}q_h(t) &= 0 \\
\frac{dq_h(t)}{dt} &= -\frac{1}{RC}q_h(t) \\
\frac{1}{q_h(t)}dq_h(t) &= -\frac{1}{RC}dt \\
\displaystyle{\int_{A}^{q_h(t)} \frac{1}{q_h(\tau)}dq_h(\tau)} &= \displaystyle{-\frac{1}{RC} \int_0^{t} d\tau} \\
\left[ \ln q_h(\tau) \right] _{Q}^{q_h(t)} &= \left[ -\frac{1}{RC} \tau \right]_0^t \\
\ln q_h(t) - \ln A &= -\frac{1}{RC} t \\
\ln \frac{q_h(t)}{A} &= -\frac{1}{RC} t \\
\frac{q_h(t)}{A} &= e^{-\frac{1}{RC} t} \\
q_h(t) &= Ae^{-\frac{1}{RC} t} \\
\end{aligned}$$원래 입력이 $i(t)$이므로 $i(t)=\frac{dq(t)}{dt}$를 이용하여, $i(t)$로 바꾸어 표기해야하나 complete solution에서 한번에 처리하는 게 이 문제에선 편하므로 이대로 진행함.

 

특성방정식으로 풀면 다음과 같음.
$$\begin{aligned}
\frac{dq_h(t)}{dt}+\frac{1}{RC}q_h(t) &= 0 \\
Dq_h(t)+\frac{1}{RC}q_h(t) &= 0 \\
(D+\frac{1}{RC})q_h(t) &= 0 \\
(\lambda+\frac{1}{RC})q_h(t) &= 0 \quad, \text{특성방정식의 해를 }\lambda\text{로 표기}\\
\lambda &= -\frac{1}{RC} \quad , q_h(t)=0\text{인 trivial solution 제외할 경우의 해} \\
q_h(t) &= A e^{-\frac{1}{RC} t} \\
\end{aligned}$$

 

3. Particular solution

$q(t)$의 Particular solution을 $q_p(t)$라 하면 다음이 성립.

$$\frac{dq_p(t)}{dt}+\frac{1}{RC}q_p(t) = \frac{E}{R}$$

$\frac{E}{R}$은 상수이므로, particular solution $q_p(t)$도 상수의 형태를 가짐 (particular solution은 입력함수에 의해 그 형태가 결정됨을 기억할 것). 즉, 다음과 같은 식으로 표현 가능.

$$q_p(t)=n \quad , n \text{은 상수}$$

이를 미분방정식에 대입하여 풀면 다음과 같음.

$$\begin{aligned}
\frac{dq_p(t)}{dt}+\frac{1}{RC}q_p(t) &= \frac{E}{R} \\
\frac{dn}{dt}+\frac{1}{RC}n &= \frac{E}{R} \\
0+\frac{1}{RC}n &= \frac{E}{R} \\
n &= CE \\
\therefore q_p(t) &= CE
\end{aligned}$$

 

4. Complete solution

complete soluton $q(t)$는 다음과 같이 homogeneous solution과 particular solution의 합임.

$$\begin{aligned}
q(t) &= q_h(t) + q_p(t) \\
&=A e^{-\frac{1}{RC} t} +  CE
\end{aligned}$$

위의 solution의 식에서 우리가 모르는 상수는 $A$임. ($R$,$C$,$E$는 회로에서 주어진 상수)

 

$A$를 구하기 위해, 초기조건을 이용한다.

$$\begin{aligned}
q_c(0)=0&=A e^{-\frac{1}{RC} 0} +  CE \\
&=A+CE\\
\\
\therefore A&=-CE
\end{aligned}$$

 

즉, $q(t)$는 다음과 같음.

$$\begin{aligned}
q(t) &=-CE e^{-\frac{1}{RC} t} +  CE \\
&=CE (1-e^{-\frac{1}{RC} t})
\end{aligned}$$

 

출력이 $i(t)$이므로, 위의 $q(t)$로부터 $i(t)$를 구하면 다음과 같음.

$$\begin{aligned}
i(t) &=\frac{dq(t)}{dt}\\
&= -CE\left(-\frac{1}{RC}\right) e^{-\frac{1}{RC} t} \\
&=\frac{E}{R}e^{-\frac{1}{RC} t}
\end{aligned}$$