[Math] Function (함수) : 간략 정의

Function은 흔히 mapping(사상), transformation(변환)이라는 용어로 불리기도 함.

수학적 정의

두 set $X$와 $Y$의 원소 간에 관계 $f$가 다음을 만족할 경우, function이라 한다.

• $\forall x \in X$에 대해 $y=f(x)$인 $\forall y \in Y$가 반드시 존재함.
• $x_1, x_2 \in X$일 경우, $x_1=x_2$이며 $f(x_1) = f(x_2)$ 가 반드시 성립함.

위 두 조건을 만족하는 function $f$는 다음과 같이 표기된다.

$$
f: X \mapsto Y
$$

관련 용어.

• domain (정의역) : $X$
• codomain (공역) : $Y$
• image (상) : $Y$의 원소 중 $X$의 원소와 mapping이된 원소 또는 해당 원소로 구성된 set. 항상 codomain의 subset임.
• preimage (원상) : image에 대응하는 $X$의 원소.
• range (치역) : 모든 image들의 set.
• indepedent variable (독립변수) : domain의 임의의 원소.
• dependent variable (종속변수) : range의 임의의 원소.

Types of function

one-to-one (단사) function

$f:X \mapsto Y$에서 $\forall x_1, x_2 \in X$ 라 하자.

이때 $f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2$가 성립하는 경우,

$f$를 one-to-one(or injection) function이라고 함.

onto (전사) function

$f:X \mapsto Y$에서 $\forall y \in Y$가 적어도 하나의 $x \in X$의 image인 경우,

$f$를 onto (surjection) function이라고 함.

• functon $f$의 range는 codomain가 일치함.

one-to-one correspondence (전단사) function

• onto 이면서 one-to-one.
• bijection이라고 함.