[LA] Span

Span의 정의는 다음과 같음.

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If $\textbf{v}_1, \cdots, \textbf{v}_p$ are in $\mathbb{R^n}$,
then the set of all linear combinations of $\textbf{v}_1, \cdots, \textbf{v}_p$ is denoted by Span $\left\{\textbf{v}_1, \cdots, \textbf{v}_p\right\}$ and
is called the subset of $\mathbb{R^n}$ spanned (or generated) by $\textbf{v}_1, \cdots, \textbf{v}_p$.

That is, Span $\left\{\textbf{v}_1, \cdots, \textbf{v}_p\right\}$ is the collection of all vectors that can be written in the form

$$
c_1 \textbf{v}_1 +c_2 \textbf{v}_2 +\cdots + c_p \textbf{v}_p
$$

with $c_1, \cdots, c_p$ scalars.

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즉, 어떤 vector들의 set에 대한 span이란

• 해당 set의 모든 vector들의 linear combination으로 만들어지는 vector들을 포함하고 있는 set이 바로 span이다.
• 만약 zero vector가 아닌, $\textbf{v}$에 대한 span, $\text{Span}\{\textbf{v}\}$는 1차원의 line이라고 볼 수 있다.
• 여기서 $\textbf{v}$의 component가 3개라면, $\textbf{v} \in \mathbb{R}^5$이며, $\text{Span}\{\textbf{v}\}$은 $\textbf{v} \in \mathbb{R}^3$로서 $\mathbb{R}^3$의 subset이다.
• 조금더 확장하여 zero vector가 아니면서 서로에 대하 scalar multiple이 아닌, $\textbf{v}_1, \textbf{v}_2$에 대한 span, $\text{Span}\{\textbf{v}_1,\textbf{v}_2\}$는 2차원의 plane이라고 볼 수 있다.

span으로 만들어진 vector들의 집합은 origin을 반드시 포함하게 됨을 잊지 말것.

위 그림은 $\text{Span}\{\textbf{v}\}$를 나타낸 것임. (단, $\textbf{v}\in \mathbb{R}^3$).

 

2022.09.02 - [Linear Algebra] - Linear Combination 및 Vector equation, Matrix equation

Linear Combination 및 Vector equation, Matrix equation