[LA] Homogeneous and Non-homogenous Linear System

다음과 같은 Matrix equation으로 표현되는 system of linear systems를 homogeneous라고 부름.

$$
A\textbf{x}=\textbf{0}
$$

• 여기서 $\textbf{0}$ 는 모든 element가 0인 zero vector를 의미함.
• 모든 term(항)들의 degree가 1차로 동일(homogeneous)함.

Homogeneous linear system 은 결국, linear system이고 linear이므로 degree가 1임.
여기서 모든 구성 항들이 동일(homogeneous)한 차수(degree)를 가지려면 모두 1차여야 한다.

Trivial solution (자명해)

homogeneous linear system은 항상 consistent인데, 이유는 trivial solution이 존재하기 때문임.

• $\textbf{x}$가 zero vector인 경우, 항상 성립함: 이때의 zero solution을 trivial solution이라고 부름.

linear system이 consistent인 경우 2가지로 나누어지는 것을 기억할 것.
infinitely many solution을 가지던지, exactly one solution을 가진던지.
즉, homogeneous linear system은 무수히 많은 해를 가지던지, trivial solution만 가지던지 둘 중 하나임.

• 무수히 많은 solution을 가질 경우, free variable이 존재하게 됨.
• 즉, homogeneous linear system에서 trivial solution 외의 solution이 존재한다는 애기는 free variable이 최소한 하나 이상 존재한다는 애기와 같음.
• 또한 homogeneous linear system에서 non-trivial solution이 존재한다면, 이는 무수히 많은 solution으로 구성된 solution set을 이루며 parametric description으로 기재되게 됨.

Non-homogeneous linear system

$\textbf{b}\ne \textbf{0}$일 때, 다음과 같은 matrix equation으로 표현되는 linear system을 가르킴.

$$
A\textbf{x}=\textbf{b}
$$

Theorem 6 (David C. Lay, Linear Algebra Ch01-05)

Suppose the equation $A\bf{x}=\bf{b}$ is consistent for some given $\bf{b}$, and let $\bf{p}$ be a solution (,it means that $\bf{p}$ is a particular solution).
Then the solution set of $A\bf{x}=\bf{b}$ is the set of all vectors of the form $\bf{w}=\bf{p}+\bf{v}_h$, where $\bf{v}_h$ is any solution of the homogeneous equation $A\textbf{x}=\textbf{0}$.

 

위의 theorem을 기하학적으로 보면 다음과 같다.

$A\textbf{x}=\textbf{b}$의 solution set은 $A\textbf{x}=\textbf{0}$의 solution set과 parallel(평행)함

• homogeneous system에서 solution set은 origin을 반드시 포함함.
• non-homogeneous system에서 particular solution, $\textbf{p}$를 하나 알게 되면, homogeneous solutionset과 vector addtion으로 solution set을 구할 있음.

참고

공학수학에서 미분방정식 등에서 complete solution을 구하는 방법으로,

1. 먼저 homogeneous solution을 구하고, ← linear combination of vectors.
2. particular solution을 구한 다음, ← one vector!
3. 이들의 합의 형태로 complete solution을 구하던 것
   을 한번 Matrix equation관점에서 생각해보자.